第292章 黎曼猜想報告會（四）

  第292章 黎曼猜想報告會（四）

  接下來關於黎曼猜想的證明過程倒是迅速了許多，畢竟前面也基本都將比較重要的過程講過了，包括一開始，蕭易也就將第四篇論文中，為黎曼猜想賦予伽羅瓦表示熟悉的過程給一同說過了。

  所以，剩下的主要內容，也就基本上集中在處理過程中的一個個技術性問題，直到成功證明黎曼猜想的這一步上面。

  於是，轉眼便又是一個小時左右過去了。

  時間已經來到了16點，報告會的下半場也已經過去了兩個小時。

  在場的絕大多數觀眾們，或多或少的都已經有些疲憊了。

  特別是那些坐在後面位置的人們。

  其中雖然也有數學教授，但是也有學生、愛好者等等。

  這場報告會對於他們來說，並不像是前面的那些頂尖數學家們一樣，是將這場報告會當成一場藝術品鑑賞會來看待的。

  他們是將這場報告會當成一場見證神跡的集會來看待的。

  只可惜，在真正見證神跡之前，站在最上面的那個神跡的創造者，得先和他們念好幾個小時的神跡召喚咒語。

  這些咒語，每個字他們倒是都能夠聽懂，但是一旦連起來，那就真的是完全不懂了。

  以至於他們都開始變得有點迷迷糊糊了起來。

  但就在此時，蕭易忽然說道：

  「那麼現在，我們就有了第五個推論，如果對於任意的CM橢圓曲線E，λ_E都是一個自守表示，那麼黎曼猜想成立。」

  【黎曼猜想成立】。

  這段話頓時就觸發了關鍵詞，讓在場很多迷迷糊糊的人頓時就坐直了身體，看向了蕭易。

  終於來了？

  他們要見證的神跡，終於要到了？

  「這個推論，就最終成功地將黎曼猜想化為一個關於Hecke特徵的問題。」

  「所以，到了這個時候，為了證明黎曼猜想，我們只需要證明所有CM橢圓曲線的Hecke特徵都是自守的。」

  「而這個時候，我們可以繼續借用之前證明阿廷猜想時的思路，考慮將每個CM橢圓曲線嵌入到一個廣義模曲線中，然後利用廣義模曲線的模性來證明λ_E的自守性。」

  「如此一來，我們就有：對於任意的CM橢圓曲線E，存在一個廣義模曲線X和一個嵌入i: E→ X，使得i誘導了Hecke特徵之間的同構。」

  【λ_Eλ_X i_*】

  「其中λ_X是X的Hecke特徵，i_*是由i誘導的Galois群之間的同態。」

  「而現在，我們就能夠進而得到一個結果，對於任意的CM橢圓曲線E，我們有一個廣義模曲線X和一個嵌入i: E→ X，使得λ_Eλ_X i_*。」

  「再根據阿廷猜想的證明，我們知道λ_X是一個自守表示，因此，λ_Eλ_X i_*也是一個自守表示。」

  「至此，回顧到我們前面所給出的一個定理，若且唯若λ_E是一個自守表示時，L(s，E)的所有零點都位於直線Re(s)=1/2上。」

  「因此，它也等價於，黎曼ζ函數的所有非平凡零點，全部都落在了複平面Re(s)=1/2這條直線上面。」

  說到這裡，蕭易頓了頓，手中在黑板上推演的筆，也到此處停了下來。

  而後，他轉過身，向著在場的觀眾們張開了自己的雙手，說道：「也就是說，到此處，黎曼猜想，已經得到了證明。」

  「十九世紀的黎曼大概不會想到，他偶然間寫出的一篇短短八頁的論文，最終為數學界留下了這樣一個讓一百多年的數學界都為此感到魂牽夢繞的問題。」

  「但是直到現在，我想我可以正式地向各位宣布，這個問題，已然成為了過去式。」

  「我相信這對於數學來說，是一個值得紀念的成果，但當然，一切事物，我們都要用發展的眼光去看待，黎曼猜想的證明，只是我們的一個階段性勝利，未來，仍然還有很多問題等待著我們的去發現，去挖掘。」

  「好了，那麼話說到了這裡，我的報告會主要內容也就到此全部講完了。」

  「感謝大家的耐心，那麼……」

  正當蕭易要說出接下來的話時，全場就是一片掌聲響了起來。

  那些早就準備好鼓掌的觀眾們，聽到蕭易的感謝後，就送上了掌聲。

  不過，直到他們看見蕭易那無奈的表情時，才發現似乎還沒有到時候。

  於是掌聲又一次漸漸地停歇了。

  蕭易無奈地攤了攤手，隨後面對著在場的眾人說道：「那麼，接下來，是提問環節。」

  「大家現在對於我的證明過程有任何質疑的地方，現在都可以開始提問了。」

  隨著蕭易的話音落下，全場都陷入了一片寂靜，那些沒有問題的，或者說是問不出來問題的人，都看著周圍，想知道是否有人能夠提出問題。

  雖然在之前眾多數學家們剛看完論文的時候，有不少的數學家心中都存在一些疑惑。

  但是在剛才蕭易的講述中，這些問題也基本上都已經得到解決。

  而現在，如果還有人能夠提出問題的話，那必然就是相對比較刁鑽的問題了。

  直到片刻後，還是有人舉起了手。

  彼得·舒爾茨。

  看到他，眾人並不意外，作為如今在算術幾何中最出色的數學家之一，他能夠找到問題，並不意外。

  人們也開始好奇，這位曾經也有天才之名，而如今歲數也已經超過了40歲的數學家，又能夠提出什麼問題呢？

  台上的蕭易微微一笑，說道：「彼得，請提問吧。」

  舒爾茨也朝他笑著點了點頭，看著蕭易，他仿佛回想起了自己當初給蕭易發郵件，邀請他參與到質疑望月新一關於abc猜想證明的學術會議的那天下午。

  當初的他，就覺得蕭易肯定能夠成為數學界的一顆新星。

  只是當時的他沒有想到，這個過程會這樣快，甚至也超過了他的想像。

  接過了工作人員遞上來的話筒，他便說道：「好吧，蕭，雖然要說的是，我們每個人都很期待看見黎曼猜想被證明，但同樣的，我們也不會輕易地就讓它被證明。」

  「所以，我的問題是——在你的證明中，有一步關鍵，在於將黎曼Zeta函數與橢圓曲線的L-函數聯繫起來。」

  「這裡，你考慮了CM橢圓曲線，並利用它們的特殊性質，證明了它們的L-函數的零點都位於臨界線上。但是，這裡有一個問題：並非所有的橢圓曲線都是CM曲線。」

  「而你的方法僅僅只適用於CM橢圓曲線，而對於一般的橢圓曲線，則無法像CM曲線那樣，將其L-函數分解為ζ函數和Dirichlet L-函數的乘積。」

  「所以，你對此能否給出解釋？」

  隨後，他便放下話筒，安靜地看著蕭易。

  儘管他對於蕭易的證明一直都保持著非常高的評價，但是並不妨礙他從中仍然找出了問題所在。

  而隨著這個問題一出，在場頓時就有相當多人一愣。

  這個問題……

  他們頓時倒吸一口冷氣。

  這可是直指核心的問題，一旦失敗，就像是一幢用各種複雜結構搭建起來的建築，但是其中的一個承重結構破裂，整座建築也將隨之倒塌。

  那麼，蕭易能夠給出回答嗎？眾人紛紛都將目光轉向了蕭易。

  但他們就見到蕭易只是微微一笑，隨後便開口道：「不錯的問題。」

  「這確實是我在證明過程中沒有仔細說明的一點。」

  「但大概也是因為我覺得……這個問題很好理解？」

  在場的人頓時都是一臉問號。

  啥？

  這問題，他們一聽就感覺相當的棘手，結果蕭易居然還說很好理解？

  而後，蕭易就開始了回答。

  他首先是承認了舒爾茨問題中的描述。

  「你的觀察是正確的，大多數CM橢圓曲線確實是定義在數域的擴域上的，在這種情況下，我們得到的是ζ函數和Dirichlet L-函數的某種類似物。」

  「但是，」隨後，他的話鋒就是一轉：「我想強調的是，這些類似物，儘管可能不滿足經典的函數方程，但它們仍然滿足某種廣義的函數方程。」

  「這種廣義的函數方程，雖然形式上可能更複雜，但其本質性質與經典情況是一致的，特別是它們仍然蘊含著L-函數的零點分布的關鍵信息。」

  「在我的證明中，當提到CM橢圓曲線的L-函數時，實際上是在討論這些廣義的L-函數，其中關鍵就在於，這些廣義的L-函數，仍然可以分解為兩個部分的乘積，而這兩個部分分別對應於Zeta函數和Dirichlet L-函數的某種類似物。」

  「然後隨著我進一步地引入廣義模曲線，並討論它們的Hecke特徵時，實際上也是在更一般的條件下進行的，在這種更一般的條件下，我的論證依然有效。」

  「這就是我的回答，不知道你能否理解。」

  在場的很多人就懵了，即使是那些頂尖的數學家，也有很多人浮現出了迷惑的表情。

  實在是因為蕭易的這個回答有點太過於抽象了，甚至都有點覺得他是在胡亂回答。

  然而，基於對蕭易的信任，那些頂尖的數學家們，還是開始思索起了蕭易話語中的道理。

  證明中，其實已經對這部分進行了描述？

  他們開始回顧起了論文，還有剛才蕭易講述的內容。

  蕭易也留給他們時間進行理解。

  直到片刻後，舒爾茨忽然就恍然大悟了起來，說道：「我明白了。」

  然後他感慨一聲：「的確，關鍵的證明都發生在一般的過程中，而這一般的過程，又綜合在論文的整體上。」

  「這一次，我算是真正承認了你數學上帝的身份。」

  「謝謝你的回答了。」

  隨後，他坐了下去。

  而在場的絕大多數人聽到舒爾茨這樣說，又是一陣迷茫。

  不是哥們，你又懂了？

  你懂啥了？

  但大概是因為舒爾茨的那幾句話，又讓那些同樣在思考中的數學家們獲得了啟發，紛紛都露出了恍然大悟的表情。

  然而，總人數加起來，也都不超過5個。

  台上的蕭易見到場下這些人的表情，笑了笑，便說道：「我有必要說明的是，這一點確實是有點難以理解，這需要對我的論文有一個更加全方面的了解，特別是我剛才所提到的那些相關內容，這樣，這個問題才能夠得到解釋。」

  而後，他就不再多說，如果一個人都沒有懂的話，那麼他或許會進行更多的解釋，但是現在，既然有人懂了，那他也就沒必要再說那麼多了。

  「那麼，還有問題嗎？」他繼續問道。

  在場的眾人，也只能從剛才的問題中回過神來，繼續等待著是否還有人有問題。

  而約莫過去了半晌後，終於是又有人舉起了手。

  在場的人頓時都是一愣，居然還有人有問題嗎？

  他們紛紛轉頭看向這位舉手者。

  不出所料的是，這又是一位知名的數學家。

  安德魯·懷爾斯。

  費馬大定理的證明者。

  同樣，這也是一位將幾何和代數研究的十分深入的數學家。

  他所證明的谷山-志村猜想，本身也是橢圓曲線中的重要定理。

  蕭易的眉頭微微一挑，他對於這位老數學家，雖然很清楚他的名聲，但是以前見過和交流的機會卻並不多。

  那麼，這位老數學家，又能夠提出什麼樣的問題呢？

  接過了工作人員的話筒，懷爾斯拍了拍，聽到回聲後，隨後便笑道：「彼得說的不錯，我們不會讓你就這樣輕易地證明了黎曼猜想。」

  「老實說，剛才彼得提出的問題，以及你的回答，我也沒有聽懂，一開始我還以為你的解釋是失敗的。」

  「但是沒有想到，彼得說他懂了，然後還有一堆傢伙也都聽懂了。」

  「所以，我想提出的這個問題，原本還想留到你以後真正解決了彼得的問題之後，再告訴你。」

  懷爾斯不好意思地一笑：「我還想將這個問題作為一個驚喜給你呢。」

  在場頓時一片笑聲。

  你管這叫驚喜，確定不是驚嚇麼？

  不過，隨後懷爾斯就說道：「但現在，看來我也不得不提前將我的問題告訴你了。」

  「我的問題也和橢圓曲線的部分有關，同時也涉及到了CM橢圓的內容。」

  「在你的證明中，你利用了廣義模曲線的性質，特別是它們的Hecke特徵的自守性，來推斷所有橢圓曲線的L-函數的零點分布。但是，這裡有一個微妙的邏輯問題：你是否隱含地假設了所有的橢圓曲線都可以被嵌入到一個廣義模曲線中？」

  聽到這個問題，在場的所有人都愣住了。

  這個問題……

  比剛才的問題更加的隱蔽，同時也更加的高級。

  而同樣的，其也更加的棘手、致命。

  很多人開始在腦海中轉圈，思考著這個問題要如何才能夠回答。

  但無論他們怎麼想，也根本找不到能夠解決這個問題的出發點。

  當然，其他的觀眾在思考著這個問題該如何解決的時候，與此同時，那些頂尖的數學家們，則是不約而同地看向了懷爾斯。

  原因無他，只是因為，這個問題，他們都感到了格外的熟悉。

  這樣的錯誤，可不就是當初安德魯·懷爾斯在他當初的證明中，曾經犯下的錯誤嗎？

  而現在，他又在蕭易的論文中，發現了相同的問題？

  這算不算是，迎來了一個輪迴呢？

  (本章完)