第282章 廣義模曲線！

  第282章 廣義模曲線！

  從過山車上下來，洛明雅拍了拍胸口，呼了一口氣。

  「哇，真是好久都沒有坐過過山車了，真刺激啊。」

  然後她就轉頭看向了蕭易，問道：「你剛才怎麼那麼冷靜啊？居然喊都不喊。」

  只不過，此時的蕭易卻是面露思考之色。

  雖然本來的他還打算好好的玩一下，但是隨著不經意間湧現出來的靈感，確實讓他的腦海中浮現出了一些新的想法。

  模曲線可能確實不能成為他想要的那個幾何對象，對於這一點，他在之前對模曲線進行研究的時候，就已經做出過確定的。

  但是就現在來看的話，模曲線雖然不能滿足他的要求，但卻一定十分接近他想要的那個東西。

  這不僅僅只是從數學角度上的思考得來的，更重要的是，他的直覺就是這樣告訴他的。

  他對於自己的直覺，向來都還是比較相信的。

  不過，他現在要思考的就是，那個和模曲線比較接近的幾何對象，到底是什麼東西，在他的印象中，雖然有那麼幾個和模曲線接近的概念，但是那些個概念都已經經過了他的驗證，他這幾個月思考下來，自然是把能想到的都已經嘗試過了，至於想不到的……

  他覺得基本上是不存在自己想不到的了。

  當然，既然都已經思考到了這種地步，那麼就不得不考慮最後一種可能性了。

  「所以現在也就是說，想要繼續進行下去的話，就需要一種新的，並且和模曲線相類似的幾何概念嗎？」

  需要開發出一種全新的幾何概念的話……

  蕭易的眉頭一挑，似乎倒也不是不行啊。

  「嗯？你現在不會是在思考你剛才說的橢圓曲線吧。」

  這個時候，旁邊的洛明雅見到他思索的樣子，就不由問道。

  蕭易回過神，笑道：「確實，甚至還給我帶來了一點靈感。」

  「啊？」洛明雅驚訝：「就是坐一個過山車，居然也能夠給你帶來靈感的嗎？」

  「是的吧。」蕭易點點頭：「數學是宇宙的語言，所以一切遵守宇宙規則的東西，大概都能夠給數學問題帶來一些啟發吧。」

  「真是不敢想像，你們數學家眼中的世界都是怎樣的。」

  洛明雅再度感慨了一聲。

  就像她曾經也對蕭易說過，很羨慕他們這種數學學得好的。

  而後她又轉過頭，看了看遊樂園內的眾多遊樂設施，然後就指著那邊十分明顯的摩天輪說道：「那要不，咱們去坐摩天輪吧？說不定也能給你帶來更多的靈感呢？」

  蕭易轉頭看了過去，隨後笑道：「好。」

  前往了摩天輪，然後很快就排上隊，碰巧的是，他們前面幾個人就是錢萬里一家人。

  不過蕭易他們倒是也沒有招呼錢萬里，錢萬里也並沒有注意到他們，只是享受著難得的和家人相處的感覺。

  洛明雅看著他們，蕭易則是抬頭看著摩天輪。

  摩天輪的幾何形狀，比起過山車的軌道來說，看上去雖然要繁雜一些，但其實卻又顯得要規律一些。

  畢竟大概看上去，其就是一個標準的原型。

  蕭易不經意間發動了自己的完美工程能力，然後就將整個摩天輪的模型在自己的腦海中建構了起來。

  隨後，他就能夠詳細地看到關於摩天輪的整個數據。

  接著他又將這個數據整個放在了一個坐標系中，並且將這個坐標系放在了自己剛才所想到的「模曲線遊樂園」之中。

  腦海中的思考，又在不經意間來到了新的地步。

  「模曲線的主要問題就在於儘管它提供了許多有用的信息，但並不能完全解釋擴展L-函數的所有性質，比如某些特殊值，以及這些特殊值與橢圓曲線的算術性質之間的關係。」

  「所以就需要一個比模曲線更『豐富』的對象……」

  腦海中颳起了頭腦風暴。

  但是又很快就停了下來。

  因為這個時候輪到他們上去了。

  和洛明雅鑽進了一個艙中，相對而坐，然後工作人員將艙門關閉。

  隨著設施機械臂的緩慢轉動，他們開始逐漸上升。

  洛明雅看著坐在對面的蕭易。

  蕭易則是看著外面的結構。

  此時他腦海中的景象仍然是完美工程下的圖像，圓形的結構，而他們則是在這個軌道上面的點，不斷地在軌道上轉動，並且形成了一個連續的曲線。

  雖然從純粹的數學意義上面來說，圓和橢圓並不能看作是同類，因為兩者的定義是不同的，圓是平面上到某一固定點(圓心)距離等於某一固定值(半徑)的所有點的集合；而橢圓是平面上到兩個固定點(焦點)距離之和等於某一固定值的所有點的集合。

  不過，這是從嚴格定義上來說的，如果單純地從橢圓參數方程來說的話，圓也還是能夠稱之為一種特殊的橢圓，特殊在它的兩個焦點重合，焦距等於零。

  所以用這種方式來表示的話，圓就像是橢圓的一種零點情形。

  如果再結合模曲線呢？

  蕭易的思維，在此時就仿佛穿行在無窮的迷霧之中，但是，直到某一刻，他們的艙室上升到了一個更高的高度時，從雲層中穿過的陽光，恰好透過了舷窗，照射在了他的面頰上。

  於是，他的思維就從那層層迷霧中鑽了出來。

  進而產生了一個全新的想法。

  「如果我可以構造一個高維的模曲線類似物，它會是什麼樣子？」

  他抬起了頭，張目對日。

  眼睛格外的明亮。

  「這個空間應該包含通常的模曲線，使其作為一個『切片』，但同時也應該包含更多的信息，以刻畫那些特殊的擴展L-函數。」

  「所以……」

  他直接就從自己的口袋中拿出了一支筆和一個小記事本，開始在上面寫了起來。

  他已經想到了一個全新的，模曲線的類似物。

  一個更高維度的模曲線。

  他將其命名為，廣義模曲線。

  現在將其記為X_f^(n)，本身是一個n維的複流形，它參數化了一類特殊的n維阿貝爾簇，這些阿貝爾簇具有一些模性質，類似於通常的橢圓曲線。

  嗯……

  然後還需要加一些東西進去，才能夠這個東西更加具有普適性。

  於是他的思維又一次跨越，回憶起了曾經掌握的那些數學知識。

  Shimura簇、Siegel模形式……

  摩天輪逐漸升高，陽光也已經將整個艙內照亮。

  看著蕭易即使在這種時候，也能夠掏出紙筆進行研究，洛明雅的心中不覺得他不解風情，卻只有一種淡淡的寧靜，就像此時此刻，遊樂園外面的吵鬧聲，都被完全隔絕。最後，一直到他們升到了摩天輪的最高處時，入眼處，除了此方小空間，以及窗外遠方的天，就只有眼前的人，便再無餘物。

  年輕的姑娘們喜歡那種如同言情小說中大起大落般的戀情，但是她卻更加中意於現在的這種感覺。

  而且，看上去雖然十分的平淡，但是內中也隱藏著不一樣的情調。

  她也不知道自己什麼時候就產生了這樣的情緒，明明自己以前還格外青睞自己表姐那樣的生活，覺得自己大概就是同樣的單身主義了。

  但終究還是發生了改變。

  看著眼前男人的眼睛逐漸因為阻滯的問題逐漸得到了解決，她也露出了笑容，發自內心的為他感到高興。

  今天的團建，也算是沒有白搞。

  其實團建，最開始也是她提議的，當時也是因為見到蕭易因為一直沒有解決問題而經常微微皺起的眉頭，於是就提議抽個時間來放鬆一下，說不定放鬆放鬆就能夠有思路了呢？

  現在，也算是達成所願了？

  摩天輪逐漸下落，最頂端的風景消散。

  洛明雅轉過頭，看見了錢萬里一家人所在的那個艙室。

  錢萬里和妻子坐在一起，錢徽音則是一臉高興地看著窗外。

  微風透過窗沿溜進艙內，洛明雅的髮絲隨之而起。

  雖然她不追求那種大起大落的浪漫，但是她終究還是追求浪漫的。

  此時的浪漫，剛剛好。

  ……

  終於，摩天輪轉了一圈，逐漸回到了最底下。

  而在即將出去的時候，蕭易終於停下了手中的筆，然後抬起了頭。

  注意到洛明雅看著自己的目光，他微微一笑。

  「問題解決了嗎？」洛明雅問道。

  「並沒有完全解決。」蕭易說道：「不過，現在距離最後的答案，也差不了多少了。」

  洛明雅眉頭一挑：「就是說，黎曼猜想，就要解決了？」

  「那倒是沒有。」蕭易笑著擺擺手：「現在解決的，也只是一個階段性的問題而已，距離真正解決黎曼猜想，還差了一些。」

  「不過，現在能夠做到這一步……」蕭易的目光中浮現出了自信，「大概也已經差不多了。」

  就在這個時候，艙門從外面被打開。

  工作人員示意他們可以下去了。

  洛明雅和蕭易便先後下去了。

  蕭易這個時候也將紙和筆裝回到了口袋裡面去，然後笑著對她說道：「好了，走吧，今天接下來的時間我就不繼續研究問題了，好好玩一回。」

  「好。」洛明雅輕笑著點頭，隨後他們便並肩向著遊樂園中的其他地方走去。

  ……

  一天的時間，有時候讓人感覺過去的很快，有的時候也讓人感覺過去的很慢。

  當過去很快的時候，人們會希望它能夠過慢一點，但是過去慢的時候，又會希望它能夠過快一些。

  而對於科學島實驗室的眾人來說，今天，他們都是前者。

  不過，時間終究還是不會等人，隨著遊樂園的閉園，所有遊客都離開了之後，這一天也就結束了，所有人也都匯報已經返回了宿舍，或者是家中，報了平安。

  一夜過去。

  第二天，太陽照常升起。

  蕭易昨晚也是就睡在自己辦公室中的休息室的，所以起來之後，洗漱完成，就能夠在辦公室開始進行研究。

  從昨天的衣服口袋裡面拿出了記事本，看起了上面留下的筆記，他的嘴角微微一笑。

  「OK，今天就可以正式開始了！」

  聯繫了王豪，讓他從食堂給自己帶一份早點過來，隨後就坐在了辦公桌前，拿出了草稿紙和筆，開始了這最關鍵的推導。

  廣義模曲線，那麼首先就得先回顧一下模曲線的定義。

  【對於一個正整數N，定義模曲線X(N)為復上半平面H的模塊空間(moduli space)，模掉由Γ(N)作用產生的等價關係。這裡，Γ(N)是模群SL(2，Z)的主同餘子群，定義為……】

  「接下來定義廣義模曲線……」

  【設n是一個正整數，f是一個n維的Siegel模形式，即全純函數f:H_n→ C，其中H_n是n×n復對稱矩陣τ=(τ_ij)的上半空間，其滿足:對於所有的γ∈Sp(2n，Z)，有f((Aτ+B)(Cτ+D)^(-1))=det(Cτ+D)^kf(τ)，其中(A B; C D)是Sp(2n，Z)中的元素，k是f的權;在H_n的每個尖點處，f滿足一定的增長條件。】

  「於是，對於這樣的f，就可以定義廣義模曲線X_f^(n)為Siegel上半空間H_n的模塊空間，模掉由Γ^(n)(f)作用產生的等價關係。」

  【這裡，Γ^(n)(f)是Siegel模群Sp(2n，Z)的一個子群，它依賴於f，定義為:Γ^(n)(f)={γ∈Sp(2n，Z)|f(γ(τ))=f(τ)，對於所有τ∈H_n}】

  「到這裡，X_f^(n)就成功參數化了所有帶有f所描述的模性質的n維阿貝爾簇。」

  寫到了這裡，蕭易微微一笑。

  到這一步，他就算是將最關鍵的問題解決了。

  這個得到拓展的新幾何概念，雖然被命名為廣義模曲線，但是儼然已經成為了一個全新的東西。

  它更加體現出了現代數學中的一個重要思想，那就是通過引入新的數學結構，從而在更高的層次上理解事物的本質，發現隱藏的聯繫。

  「那麼，接下來，也該回到擴展L-函數的本身了。」

  蕭易只是簡單的一觀察，就很容易能夠注意到對於每個n維廣義模曲線X_f^(n)，都存在一類特殊的n維阿貝爾簇，它們的擴展L-函數與X_f^(n)的Zeta函數有密切的關係。

  當然，僅僅只是觀察到還不夠，還需要給出證明。

  但是既然已經到了這裡，那麼也就不存在太大的難度了。

  花費了幾張草稿紙，他最終給出了一個全新的定理：設E是一個n維阿貝爾簇，f是一個n維Siegel模形式；如果E的模性質由f描述，那麼E的擴展L-函數L(s，E，)等於廣義模曲線X_f^(n)的Zeta函數ζ(X_f^(n)，s)。

  「如此，最麻煩的一步，也就成功完成了。」

  那麼，接下來要做的就是，向著最後的證明前進！

  阿廷猜想，如今已經攔不住他了。

  通過將每個擴展L-函數與一個廣義模曲線聯繫起來，他可以使用廣義模曲線的幾何性質，如維數、Betti數、Hodge結構等，來刻畫擴展L-函數的特性。

  最終，答案也終於放在了他的眼前。

  半個月後。

  ……

  (本章完)