第173章 數學和物理的狂歡

  第173章 數學和物理的狂歡

  「感覺……他變得和以前不一樣了。」

  觀眾席上，舒爾茨看著台上的蕭易，不由得說了一句。

  旁邊的法爾廷斯笑著問道：「哪裡不一樣了？」

  「嗯……哪哪都不一樣的感覺。」舒爾茨說道。

  法爾廷斯笑了笑，轉過頭重新看向台上的蕭易，說道：「概括點的來說，是他的身上多了一種真正的大師風範吧。」

  舒爾茨一愣：「大師風範？」

  法爾廷斯點點頭，說道：「以前他的報告，開始的時候可不會有那樣的閒聊，往往都會直接進入正題，而現在，他在面對我們這麼多的聽眾，卻有了閒聊的心思，說明他在面對咱們的時候，已經真正做到平靜以待了，就像是咱們都是來聽他傳授真理的一樣——雖然也確實如此。」

  「這樣嗎。」舒爾茨若有所思地點點頭，說道：「畢竟，他都連質量間隙問題都給證明出來了，他當然算是大師了。」

  「那可不一定。」法爾廷斯搖搖頭：「你覺得你算是大師了嗎？」

  「我？」舒爾茨一愣，隨後連連擺手，表示否認：「我怎麼算是大師呢……」

  「算你還有自知之明。」法爾廷斯笑著道。

  舒爾茨的表情頓時一窘。

  「能夠稱得上大師，不僅要在成果上達到大師的境界，在數學史上，能做到這一點的人也只有那麼幾個，近些年，大概也就只有格羅滕迪克、塞爾那幾人而已。」

  法爾廷斯說道：「而更重要的還是要在心性上轉變過來，至少伱得在心中認可自己的能力，你才真正算的上是一位大師。」

  「你啊，還需要好好努力。」法爾廷斯拍了拍舒爾茨的肩膀：「當然，我還是很看好你的，畢竟我當初都已經在媒體面前誇下海口，說你是我最認可的三位數學家之一了，你可不要給我丟人啊。」

  舒爾茨表情鄭重了起來：「我儘量不會讓您失望。」

  法爾廷斯笑著點點頭。

  不過舒爾茨這個時候又回了一句：「那麼您覺得您算是大師嗎？」

  「我？」

  面對這個相同的問題，法爾廷斯只是笑著擺擺手：「我是不算的。」

  然而，舒爾茨怎麼看，都覺得法爾廷斯這個回答，只是出于謙虛罷了。

  和他剛才那種回答完全是兩種類別。

  一時間他忽然明白了法爾廷斯剛才關於「大師的心性」這一說法。

  大概就像是他玩過的某款遊戲中，有一個角色說過的一句話：真正的大師永遠都懷著一顆學徒的心。

  「好了，安心聽報告吧。」法爾廷斯這時候提醒了一句：「今天就可以親眼看見，霍奇-頂點代數解析方法的真面目了，可真讓人期待啊。」

  舒爾茨回過神，隨後也重新將自己的注意力轉移到了台上。

  而此時，蕭易已然開始講述起了他的證明過程。

  ……

  「無疑，想要證明質量間隙問題，是一個十分漫長的攻堅過程，需要探討各種不同的角度。」

  「我從四個方向進行了嘗試，首先是格點QCD，這個大家應該都很熟悉，一種數值模擬的方法，通過將時空離散化，可以很輕鬆的幫助我們驗證質量間隙的存在，然而眾所周知的原因，數值模擬並不能代替嚴謹的數學邏輯，也就無法轉化為真正的數學證明。」

  「然後是Schwinger-Dyson方程，只要能夠找到膠子的自能函數的非零解，這將間接證明質量間隙的存在。」

  蕭易開始在黑板上演示起他在Schwinger-Dyson方程方法上的一些成果。

  最終，就在他取得了十分關鍵的進展後，卻在最後因為這些解過於複雜，無法繼續進行下一步，而不得不放棄。

  「然後還有重整化群方法，分析楊-米爾斯理論在不同能標下的行為，我發現了在重整化群流動中顯示出一種非微擾固定點，提示可能存在一個質量間隙，但遺憾的是，想要解決這個問題的複雜度，仍然超出了想像。」

  「第四種方法，利用AdS/CFT對偶性，通過共形場論和反德西特空間的對偶關係來理解楊-米爾斯理論的非微擾性質，儘管它提供了一個新的視角，然而最終的複雜度也遠遠超出了可接受的範圍。」

  看著蕭易給出的這些方法的演示，讓在場不少的人都是一陣瞠目結舌。

  其中的幾乎每種方法都遠遠超出了他們的想像，也遠遠超過了學術界對這個問題的研究進展。

  而那些在現場的物理學家們，更是一陣汗流浹背，好傢夥，這幾種方法中所使用到的數學都幾乎超出了他們的想像，饒是如此，竟然也無法解決？

  眾人對於質量間隙問題的難度又有了進一步的認識。

  那麼，蕭易到底是如何解決的?

  「最終我瞄準了拓撲量子場論這一角度。」

  「楊-米爾斯理論具有豐富的拓撲結構，嘗試從TQFT進行突破，是一個很好理解的角度。」

  「而事實證明，我選擇的這個角度也是正確的。」

  【對於S^4上的楊-米爾斯場A，其曲率形式F滿足：F=dA+A∧A.】

  【陳數c定義為：c=1/(8π^2)∫_S4Tr(F∧F)】

  蕭易轉過頭，開始在黑板上寫了起來，同時說道：「入手之後，我便開始觀察楊-米爾斯理論在四維球面上的表現，眾所周知，這種四維球面空間在拓撲性質上非常的特殊。」

  「四維球面S^4是一個緊緻的、無邊界的四維流形，它具有著簡單連通性的拓撲性質，同時還有著高階同倫群的零化性質，這都讓我們的分析能夠變得稍微簡單一些。」

  「所以我們將自然而然能夠想到利用反自對偶場，以及霍奇對偶算子。」

  蕭易的推導再度開始。

  而隨著他在黑板上構造出了他口中的反自對偶場後，立馬讓在場的很多物理學者想起了當初蕭易推導出來的X場，就是從這個反自對偶場中導出來的！

  意識到了這一點，他們頓時都是眼前一亮，總算是讓他們發現了X場最初的起源，而仔細觀察一下蕭易給出的這些推導過程，也讓他們更為清楚了X場的機制。

  一時間，他們都越發期待蕭易最後的成果，究竟能夠為理論物理學的研究提供多少幫助？

  畢竟這場報告的摘要中，蕭易可是明確說明過，會說明結論在物理上的意義。

  就這樣，數學家期待著霍奇-頂點代數解析理論，物理學家們期待著最終結論的物理意義，每個人都有光明的未來……

  「……最終，我們可以引出一個定理：設G是一個緊的、簡單的李群，且A是定義在四維球面S^4上的一個楊-米爾斯場。如果存在一個非零的陳數c，則楊-米爾斯場A的最低能量激發態具有一個嚴格正的質量間隙。」

  「顯然這個定理是等價於質量間隙問題的，因此，我們只需要證明它，也就證明了質量間隙的存在。」

  場下的聽眾們，頓時都屏住了呼吸，仔細觀察著蕭易給出的這個定理。

  「原來如此，他竟然將拓撲量子場論推導到了這種地步……」

  第一排的座位上，身為這場報告會主要聽眾之一的愛德華·威滕，膝蓋上放著草稿紙，而他正在跟著蕭易的講述，在草稿紙上進行著推演。

  最後，他抬起頭，看向蕭易的目光中更為震撼。

  能夠導出這個等價的關係，已經是幾乎將整個過程中能用到的各種方法，同量子場論結合到了一種新的極致，其中對於技術的考量，遠超他的想像。

  其中包含了他曾經研究出來的Chern-Simons理論，同時還有四維拓撲不變量、纖維叢理論等等一大堆的複雜數學方法。

  能夠將這麼多的方法掌握就已然相當難得了，就更不用說還要將它們全部融會貫通，並且用在推導質量間隙這種難度的問題上面了。

  作為一名頂尖的數學物理大師，威滕這回算是對蕭易的數學能力有了更深的認識了。

  然而，都已經將方法用到此種地步，最終也只能導出這樣一個等價的定理嗎？

  接下來又該如何證明？

  應該就是那個已經傳遍了的霍奇-頂點代數解析方法了吧？

  威滕的心中，也燃起了對這個方法的期待。

  而此刻，導出了這個定理後，台上的蕭易轉過頭，朝現場的所有觀眾們微微一笑：「等價的關係已經被我們得出，接下來的問題，我們該如何證明這個定理呢？」

  隨後，PPT也被他翻到了下一頁。

  而這一頁上面的內容，正是那個給蕭易帶來了靈感的霍奇標準猜想。

  「霍奇標準猜想，屬於一系列關於代數簇上代數循環的猜想之一，與霍奇猜想有一定的聯繫，但相對來說要更加具體和技術性。」

  「大家現在可以觀察一下這個猜想的陳述，思考一下我剛才給出的定理，是否能夠找出一些聯繫？」

  蕭易說到這裡，然後就停了下來，從旁邊拿起了自己的水杯喝了一口。

  場下的人，百分之九十以上都是一臉懵。

  不是吧，你真的讓我們觀察？

  是不是有點太看得起我們了，這玩意兒能觀察出什麼東西來？

  對於絕大多數的人而言，他們連這個猜想的陳述都看不懂。

  【對於一個定義在複數域上的非奇異射影代數簇X，考慮X的(p，p)-同調類中的代數循環Z，定義一個由Z誘導的算子L(Z):H^m(X，Q)→H^(m+2p)(X，Q)，其中Hm(X，Q)是X上的第m階同調群。猜想斷言，對於適當的p，這個算子L(Z)是正定的。】

  「你們看得懂嗎？」

  台下，葉承等人所在的區域，他們看著蕭易給出的這個東西，全部都是一臉懵逼。

  「看得懂個鬼啊？」

  陳木華深深地打了個哈欠。

  此時的他們，基本上都處於昏昏欲睡的狀態中了。

  仿佛回到了當年那個高二炎熱的下午，聽著老師在台上講著橢圓曲線的題目，而自己卻已經是哈欠連連，恨不得直接睡過去。

  當然，對他們這些數學尖子生來說，當年老師講的，他們也完全會，但現在面對蕭易講的，他們是真的懂不了一點了。「別想了，人家蕭哥就不是讓咱們來觀察的，是讓坐在前面的那些大牛們觀察的。」盧平擺擺手，一臉平靜的說道。

  對於他們而言，接受現實是最重要的。

  然而，話雖如此，其實對於坐在前排的那些大牛們而言，他們左看右看，也完全看不出來個什麼啊？

  還有，蕭易現在突然提出這個問題來，是想幹嘛？

  莫非是要證明霍奇標準猜想？

  開什麼玩笑！

  證明了質量間隙問題還不夠，你還想順便把證明霍奇標準猜想？

  要知道的是，在數學中還有很多猜想的難度都絲毫不亞於千禧年七大難題，而霍奇標準猜想就是其中之一，千禧年難題最重要的不僅僅是難，還在於它們解決了之後能夠給學術界帶來的價值。

  當然，蕭易也沒有一直等下去，喝了一口水後，他便繼續開口道：「觀察之後，我們可以很輕易地聯繫到霍奇理論中的一些工具。」

  「首先就是，霍奇分解，然後就是，頂點代數。」

  「霍奇分解是霍奇理論的核心概念之一，它將復代數簇上的德拉姆同調分解為(p，q)-型的部分，另一方面，頂點代數作為量子場論和代數幾何的重要工具，可以用來描述共形場論中的代數結構。」

  「如果兩者相結合，能夠給我們帶來什麼呢？」

  蕭易沒有直接給出回答，而是開始在黑板上寫了起來。

  「考慮一個復代數簇X，其德拉姆同調群HkdR(X，C)可以通過霍奇分解進行表示。」

  【HkdR(X，C)=_(p+q=k)H^(p，q)(X)】

  「頂點代數是一種代數結構，用於描述二維共形場論中的算子代數，設V為一個頂點代數，其包含的算子滿足某些交換關係和局部性條件，特別地，頂點代數具有一個態空間V=_(n∈Z)Vn，其中Vn是能級為n的子空間。」

  「現在我們考慮一個頂點代數V作用在霍奇結構的同調類上，具體來說，設V的算子作用在Hp，q(X)上，定義一個映射。」

  【φ:VH^(p，q)(X)→H^(p′，q′)(X)】

  「其中 p′和 q′由頂點代數的算子特性決定。」

  寫到這裡，蕭易轉頭微微一笑：「通過這種構造，可以將霍奇結構與頂點代數的框架結合起來，如此，即是霍奇-頂點代數構型。」

  「但下面又出現了一個問題，我們該如何使用這個構型呢？」

  「如果無法使用，它即使結合起來，也終究只能像是空中樓閣一樣，沒有什麼實際意義。」

  「所以，這個時候，我們就要運用模空間，同時還要引入霍奇結構類。」

  「考慮X的模空間M，其上的點對應於某種幾何對象，比如如向量叢、代數簇等等的等價類，而這時候，我們再使用剛才的霍奇-頂點代數構型，就可以研究模空間上的霍奇結構了！」

  【H^k_(global)(M，C)=_(p+q=k)H(p，q)_(global)(M).】

  當蕭易寫到了這裡時，觀眾席中，已然是一片波瀾了。

  見到蕭易給出的這些過程，那些數學家們，心中完全無法平靜。

  這個就是霍奇-頂點代數解析法？

  如此絕妙的推導，還有這個方法的作用……

  幾乎是將霍奇理論中的數個工具都給完全打通了？

  還有現在給出的模空間……

  此刻他們的心中只能意識到，代數幾何要變天了。

  普林斯頓等一眾學者們的位置上，德利涅此時整個身子都往前傾斜了不少，仿佛想要將黑板上的推導過程看得更加仔細一些，就差沒有直接站起來，走到黑板旁邊了。

  「這個方法……這個方法……如果當年我能夠用它來證明韋伊猜想的話……」德利涅說道：「老師他應該就會滿意了吧？」

  「你的意思是說，用這個方法也能夠用來證明韋伊猜想？」

  德利涅的旁邊，邦別里頓時吃驚地問道。

  「那是當然，而且……」德利涅喃喃道：「能夠讓我擺脫掉其他附加結構，實現對韋伊猜想的純粹代數幾何證明。」

  邦別里倒是明白德利涅這麼說的意思。

  韋伊猜想作為代數幾何中最重要的猜想之一，當年一大堆最頂尖的數學家們都在嘗試著解決這個問題。

  在那人類群星閃耀的時間，安德烈·韋伊、亞歷山大·格羅滕迪克、讓-皮埃爾·塞爾、麥可·阿蒂亞等等，當然還有他眼前的這位皮埃爾·德利涅，都為韋伊猜想的證明做出過努力。

  而最後，德利涅成為了最終摘得桂冠的數學家，並且因此而獲得了菲爾茲獎。

  只不過，德利涅的老師，格羅滕迪克對於他的證明並不是很滿意。

  因為格羅滕迪克本身就一直提倡用那些非常抽象和一般化的方法來處理問題，讓證明更加的純粹，以及高度地普適性和優雅性。

  而德利涅的證明方法，卻使用了更多的更加具體和技術性的手段，包括利用l-進同調和單值化理論等等，在格羅滕迪克看來，這種方法更像是「修補」或者「巧妙的技巧」，而不是展示了理論的內在力量和美感。

  對此，只能說格羅滕迪克有著自己獨特的數學哲學理念，是別人難以想像的。

  面對老師的不滿意，也終究讓德利涅對此感到有些委屈，這些年來也一直嘗試過用格羅滕迪克的那種想法來證明。

  只可惜，一直到格羅滕迪克去世，他也未曾成功過。

  哪怕是直到現在，數學界也從來沒有人能夠實現這一點。

  然而如今……

  邦別里看著蕭易在黑板上給出的方法，目光中越發的震撼。

  如果連這都能實現的話，那麼對於代數幾何學來說，真的要變天了啊。

  同樣的情緒，也發生在在場眾多學者的身上。

  法爾廷斯的表情十分嚴肅，無比認真地看著蕭易的推導，而旁邊的舒爾茨則是震撼以及不可思議，霍奇理論作為幾乎是代數幾何中最重要的數學工具之一，對於代數幾何研究可以說做出了無比重要的貢獻。

  而現在……蕭易的這個方法，不僅讓霍奇理論變得更加凝練，更是能夠將其通過和頂點代數的結合，實現更為重要的作用。

  特別是頂點代數本身能夠用於研究朗蘭茲綱領，比如結合仿射李代數與W代數、結合頂點算子代數和自守形式，又或者是聯繫S-對偶性與朗蘭茲對偶性等等。

  舒爾茨忍不住嘆道：「這傢伙……這是在創造奇蹟嗎？」

  ……

  數學家們為這個理論而驚嘆中的時候，那些數學物理學者們同樣平靜不下來。

  頂點代數原本是起源於物理學，最後又被學者們發現它在純數學中也能發揮無比重要的作用，這也是為什麼物理學同樣能夠推動數學發展的關鍵。

  但對於這些數學物理學者們來說，他們更關心的是，如今結合了霍奇理論的頂點代數，將能夠為他們的理論物理研究帶來多麼巨大的助力！

  所以此時的他們，心中的激動，絲毫不比那些數學家們要少。

  大概，全場只有台上的蕭易，語氣上仍然一如既往，仿佛並不知道他所講的東西，將給兩個學界帶來多麼重大的影響力。

  此時的他，正在為最後的證明，進行著收尾工作。

  「……最後，利用霍奇-頂點代數解析方法，我們也就可以輕鬆地證明前面我所提出的定理。」

  「在G上存在這樣一個非零陳數c，因此，也就等價於楊-米爾斯場A的最低能量激發態具有一個嚴格正的質量間隙。」

  「至此。」蕭易張開了手，說道：「我們便完成了對楊-米爾斯存在性和質量間隙問題的證明。」

  說完，他頓了頓。

  而台下的學者們，仿佛沒反應過來一樣，安靜無比。

  不過，蕭易只是一笑，隨後繼續說道：「在最後，根據霍奇-頂點代數解析法，我們還可以輕鬆地將霍奇結構推廣至量子場論中。」

  他在黑板上簡單地演示了兩下，很快，就輕易地完成了這一步。

  不過，至此還沒完，他又往下推導了幾步，而這幾步，就直接讓場下的物理學家們坐不住了。

  這是一個新粒子的表達式！

  「沒錯，通過這個新的方法……嗯，我將它稱之為量子霍奇理論，我們可以輕易地推導出一個全新的粒子。」

  「可以看出，它和X場是同源的，因此，我暫且將它命名為X粒子，至於未來能否發現它，則還需要實驗物理學界的努力了。」

  語氣十分輕鬆地說完最後這句話，然後，蕭易就放下了手中的黑板筆，然後轉過頭，走到了台前。

  「那麼，我的報告，就到此結束。」

  「感謝各位的耐心。」

  蕭易紳士地鞠躬。

  全場的氣氛猶如窒息般寧靜了片刻，而後便爆發出熱烈的掌聲。

  仿佛要掀翻這個大會廳的天花板。

  數學家和物理學家們激動地站起身，向蕭易送上了他們全部的熱情。

  他們都已經可以看到，這場報告，將成為數學和物理學的狂歡！

  (本章完)