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2023-09-30 01:18:05 作者： 術小城
沈奇拿到初賽考卷，快速掃一遍全題。
「問題不大。」沈奇心中有數，先做選擇題。
選擇題共5小題，每題6分。
在每小題給出的4個選項中，有的小題只有一項符合題意，有的小題有多項符合題意。
全部選對得6分，選對但不全得3分，選錯或不答得0分。
就是說這5道選擇題有單項也有多選，但哪題單選哪題多選，初賽試卷上沒寫，需要選手們根據題意和4個選項自行判斷。
全國中學生物理競賽初賽第一道選擇題，卷面上畫了一條→，這條→是x軸。
從左至右，→上依次有三個點，為O、P1、P2。
文字描述是：
「一列簡諧橫波在均勻的介質中沿z軸正向傳播，兩質點P1和P2的平衡位置在x軸上，它們相距60cm，當P1質點在平衡位置處向上運動時，P2質點處在波谷位置，若波的傳播速度為24m/s，則該波的頻率可能為：
A、500HZ
B、60Hz
C、400HZ
D、410HZ。」
這還用思考嗎？這麼簡單，送分題，不值得耗費腦細胞去思考。
沈奇刷刷寫下兩個英文字母：AD。
一道選擇題平均耗時30秒，沈奇用兩分多鐘做完了5道選擇題。
接下來是五道填空題，每題10分。
填空題的難度略有提升，沈奇耗時5分鐘完成了五道填空題。
CPhO初賽試卷的滿分是200分。
5道選擇題+5道填空題的分值小計80分。
計算題分值120分，共有6道計算題。
其中第一道計算題15分，第六道計算題25分，中間四道計算題都是20分。
「毫無壓力啊，這比CMO簡單了三條街。」
非常無聊的，沈奇完成了前5道計算題，此時是9點20分，距開考鈴聲響起過去了20分鐘。
「哈欠……」沈奇快要睡著了，連送15題，是個人都會打瞌睡吧。
第087章 高斯定理的估算
「這位同學，請保持清醒，不要在考場上打瞌睡。」監考老師十分嚴肅的提醒沈奇。
「嗯，抱歉。」沈奇揉揉太陽穴，最近一段時間改《奧數冠軍沈奇的數學技巧》的稿子，改的他心力憔悴，沒怎麼休息好。
「趕緊搞定最後一道計算題，搞完了回家補覺。」沈奇打起精神，仔細審題。
審完最後一道25分的計算題，沈奇終於有了幾分興趣：「就這最後一題，像是正規物理老師出的題。」
物理計算題大多配有示意圖，不配圖的物理題一般呈現兩種極端，一種是簡單的想打瞌睡，另一種是難的吊炸天。
初賽鎮宅之題的分值最高，25分，這道計算配有示意圖。
示意圖是一個圓，從圓心O到圓周七點鐘方位畫有一條虛線R，這條虛線R是圓的半徑。在圓心O旁邊不遠處有個小黑點mq。
本題的文字描述是：
「如圖所示，電荷線密度為λ（λ＞0），半徑為R的均勻帶電圓環固定在光滑的水平絕緣桌面上。質量為m、電量為q的光滑小球，靜止放在桌面上與圓環中心O點非常接近的位置處。」
「設圓環上電荷的分布不受小球電荷的影響，試判斷小球之後的運動是否為振動？」
「若為振動，設小球初始位置與O點的距離r0＜＜R，試用適當的近似方法估算小球的振動周期T。」
估算與嚴格計算的區別在於，估算可以繞過複雜的數學演算，直接獲得正確的定性結論和比較接近的粗略定量結果。
就初賽最後一道計算題而言，小球的運動是振動還是非振動，沈奇必須給出定性結論，判斷不得有誤。這是第一步。
對於同一道物理題，如果採用估算方法，可選擇的途逕往往不止一條。
很明顯，這是道電磁學題目，沈奇在諸多種估算方法中，選擇靜電場高斯定理為依據開始答題。
沈奇作出一個輔助圖，取通過O點並與圓環平面垂直的軸為x軸。
在圓平面上以O點為圓心，作半徑為r的圓。
將此圓沿x軸的正負方向各延展l，一個圓柱面就此形成。
沈奇取此圓柱面為高斯面，因其中無電荷，根據高斯定理可得：
ΦE*ds=0
高斯定理一祭出，真相越來越清晰。
帶正電的小球所受靜電力總是指向圓環中心O點，為恢復性保守力，小球的運動為振動，振動中心就是O點。
沈奇很快解決了第一問，這就是定性給結論，接受過物競培訓的學生應該都能給出正確的結論性判斷。
第二問要求沈奇估算小球的振動周期T，稍微麻煩一點點。
圓柱兩端面的電通量可以近似的用x軸上的電場強度來計算，沈奇作出計算：
E1=λ（2πR）l/4πε（R^2+l^2）^3/2=λRl/2ε（R^2+l^2）^3/2
那麼通過兩端面的電通量近似值就出來了：
SS兩端面E*ds≈E1*2πr^2
通過圓柱側面的電通量可以近似的用圓平面上與O點相距為r處的電場強度Er來計算，根據高斯定理可得：
Φ圓柱面E*ds=SS兩端面E*ds+SS側面E*ds=0
那麼帶電小球在r處所受靜電力為：
Fr=qEr=-λq/4εR^2*r
考慮到線性恢復力，小球在它的作用下將繞O點做簡諧振動。
所以周期T=4πR根號εm/λq
「搞定。」歷經CMO乃至IMO的洗禮，沈奇在學科競賽的賽場上已算一位經驗豐富的老將。